Practica 6 (PDF probabilidad y estadísticas para ingenieros en matlab)

1.- Realizar los ejercicios en matlab 90, 91.

2.- Ejercicios de la pagina 92 (1, 2, 3).

3.- Realizar los ejercicios en matlab 93, 95, 97, 99.

4.- Ejercicios de la pagina 98 (1, 2, 3)

5.- Realizar los ejercicios en matlab 101, 103.

6.- Ejercicios de la pagina 103 (1, 2, 3)

Tarea Unidad II (Chi cuadrada)

PRUEBAS CHI-CUADRADA Y ESTADISTICA NO PARAMETRICA

Como ya se ha visto varias veces, los resultados obtenidos de muestras no siempre concuerdan exactamente con los resultados teóricos esperados, según las reglas de probabilidad. Por ejemplo, aunque consideraciones teóricas conduzcan a esperar 50 caras y 50 cruces cuando se lanza 100 veces una moneda bien hecha, es raro que se obtengan exactamente estos resultados.

Supóngase que en una determinada muestra se observan una serie de posibles sucesos E₁, E₂, E₃, . . . , E_K, que ocurren con frecuencias o₁, o₂, o₃, . . ., o_K, llamadas frecuencias observadas y que, según las reglas de probabilidad, se espera que ocurran con frecuencias e₁, e₂, e₃, . . . ,e_Kllamadas frecuencias teóricas o esperadas.

A menudo se desea saber si las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas. Para el caso en que solamente son posibles dos sucesos E₁ y E₂ como, por ejemplo, caras o cruces, defectuoso, etc., el problema queda resuelto satisfactoriamente con los métodos de las unidades anteriores. En esta unidad se considera el problema general.

Definición de X²
Una medida de la discrepancia existente entre las frecuencias observadas y esperadas es suministrada por el estadístico X², dado por:

donde si el total de frecuencias es N,

Si X² = 0, las frecuencias observadas y esperadas concuerdan exactamente, mientras que si X²>0, no coinciden exactamente. A valores mayores de X², mayores son las discrepancias entre las frecuencias observadas y esperadas.
Si las frecuencias esperadas son al menos iguales a 5, la aproximación mejora para valores superiores.

El número de grados de libertad  está dado por:

 = k – 1 – m

en donde:
K = número de clasificaciones en el problema.

m = número de parámetros estimados a partir de los datos muestrales para obtener los valores esperados.

Ensayo de Hipótesis

En la práctica, las frecuencias esperadas se calculan de acuerdo con la hipótesis H_o. Si bajo esta hipótesis el valor calculado de X² dado es mayor que algún valor crítico, se deduce que las frecuencias observadas difieren significativamente de las esperadas y se rechaza H_o al nivel de significación correspondiente. En caso contrario, no se rechazará. Este procedimiento se llama ensayo o prueba de chi-cuadrado de la hipótesis.

Debe advertirse que en aquellas circunstancias en que X² esté muy próxima a cero debe mirarse con cierto recelo, puesto que es raro que las frecuencias observadas concuerden demasiado bien con las esperadas. Para examinar tales situaciones, se puede determinar si el valor calculado de X² es menor que las X² críticas o de tabla (ensayo unilateral izquierdo), en cuyos casos se decide que la concordancia es bastante buena.


Ejemplos:

1. La siguiente tabla muestra las frecuencias observadas al lanzar un dado 120 veces. Ensayar la hipótesis de que el dado está bien hecho al nivel de significación del 0.05.



Cara	1	2	3	4	5	6
Frecuencia Observada	25	17	15	23	24	16



Solución:
Ensayo de Hipótesis:

H_o; Las frecuencias observadas y esperadas son significativamente iguales
(dado bien hecho)
H₁; Las frecuencias observadas y esperadas son diferentes (dado cargado).


Primero se procede a calcular los valores esperados. Como es bien sabido por todos la probabilidad de que caiga cualquier número en un dado no cargado es de 1/6. Como la suma de los valores observados es de 120, se multiplica este valor por 1/6 dando un resultado de 20 para cada clasificación.



Cara	1	2	3	4	5	6	Total
Frecuencia Observada	25	17	15	23	24	16	120
Frecuencia esperada	20	20	20	20	20	20



Grados de libertad = k-1-m = 6-1-0 = 5

No se tuvo que calcular ningún parámetro para obtener las frecuencias esperadas.


Regla de decisión:
Si X²_R 11.1 no se rechaza H_o.
Si X²_R >11.1 se rechaza H_o.

Cálculos:

Justificación y decisión:
Como 5 es menor a 11.1 no se rechaza H_o y se concluye con una significación de 0.05 que el dado está bien hecho.



Informacion tomada de: 
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap04.html

Tarea (Teorema de Bayes).

Teorema de Bayes El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). La fórmula del Teorema de Bayes es: Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la fórmula: a) Probabilidad de que estuviera lloviendo: La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%. b) Probabilidad de que estuviera nevando: La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla: La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.  Información tomada de http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-25-est.htm.

EJERCICIO I (UNIDAD II)

Ejercicios tomados del libro PDF (Introducción a las probabilidades Empleando Excel).